数学常识 ​

一、除数、被除数、商、余数 ​

在除法运算中，除数、被除数、商和余数是四个基本概念。它们的关系可以用以下公式表示：被除数 ÷ 除数 = 商……余数 或 被除数 = 除数 × 商 + 余数

1. 1、被除数：被另一个数除的数（即被“分割”的数）。在算式 13 ÷ 5 = 2 余 3 中，13 是被除数。

2. 2、除数：用来分割被除数的数。在算式 13 ÷ 5 = 2 余 3 中，5 是除数。

3. 3、商：除法运算的结果（即整除后的整数部分）。在算式 13 ÷ 5 = 2 余 3 中，2 是商。

4. 4、余数：被除数除以除数后，剩余无法再整除的部分。余数必须小于除数（余数 < 除数）。在算式 13 ÷ 5 = 2 余 3 中，3 是余数。

5. 5、什么是整除？ 整除是指一个整数被另一个非零整数除尽，商为整数且无余数的数学关系。12 ÷ 4 = 3，余数0 → 4整除12；

二、质数、约数、质因数、倍数 ​

1. 1、约数：又称因数，指能整除一个数的数。6的因数是1, 2, 3, 6。

2. 2、质数：又称素数，指大于1的自然数，除了1和它本身外，没有其他约数。例2, 3, 5, 7, 11, 13...（注意：1不是质数）。

3. 3、质因数：质因数是指一个正整数的约数，并且该数本身是质数。例如，在2×2×2=8这个等式中，数字2是数字8的约数，且2还是质数，因此2是8的质因数。

4. 4、倍数：一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。

三、公约数 ​

1. 1、公约数的定义：又称‌公因数，是指能同时整除若干个整数的整数，那这个整数称它为这些数的公约数；

   1. （1）任何两个整数至少有 1 个公约数（即 1）。
   2. （2）若两数的最大公约数是 1，则称它们互质（如 8 和 15）。

2. 2、最大公约数是什么？ 两个或多个整数共有的约数中最大的那个。例如，12和15的公约数是1、3，最大公约数为3。

3. 3、如何找最大公约数？

   1. （1）列举法：简单粗暴

      1. 比如：找12和16的最大公约数。我们可以先列出12的约数：1, 2, 3, 4, 6，然后列出16的约数：1, 2, 4, 8，你会发现，12和16的公约数有1, 2, 4。因为4是最大的，所以4就是它们的最大公约数。

   2. （2）筛选法：高效快捷

      1. 比如：找12和16的最大公约数。我们可以先列出12的约数：1, 2, 3, 4, 6，然后看看这些数中哪些也是16的约数。你会发现，12和16的公约数有1, 2, 4。因为4是最大的，所以4就是它们的最大公约数。

   3. （3）分解质因数法：分别将每个数分解为质因数幂的乘积，找出所有数的质因数，对每个公有质因数，取它在各个数中出现的最小指数，将这些质因数幂相乘，即得最大公约数。

      1. 比如：找36和60的最大公约数。利用分解质因数法，36=2²×3²，60=2²×3×5，公共质因数2 和 3，取公共质因数的最小指数，2的最小指数是2，3的最小指数是1，则最大公约数为2²×3=12

   4. （4）欧几里得算法：用大数除以小数，取余数；用小数替换原大数，余数替换原小数；重复直到余数为 0，最后的非零余数即为最大公约数。

      1. 比如：找48和18的最大公约数。利用欧几里得算法，48 ÷ 18 = 2 余 12 → 18 ÷ 12 = 1 余 6 → 12 ÷ 6 = 2 余 0 → 最大公约数 = 6。

四、公倍数 ​

1. 1、公倍数的定义：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的。

2. 2、最小公倍数是什么？ 两个或多个整数公有的倍数中最小的那个。例如，4和6的公倍数有12、24、36...，最小公倍数为12。

   1. （1）如果两个数是，那么最小公倍数就是这两个数的乘积。

   2. （2）如果两个数存在倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数。

   3. （3）如果两数相等，最小公倍数仍为它们本身。

3. 3、如何找最小公倍数？

   1. （1）列举法：简单粗暴

      1. 比如：找4和6的最小公倍数。我们可以先列出4的倍数：4, 8, 12, 16, 20, 24, 32... 然后列出6的倍数：6, 12, 18, 24, 30, 36... 你会发现，4和6的公倍数有12和24等等。因为12是最小的，所以12就是它们的最小公倍数。

   2. （2）筛选法：高效快捷

      1. 比如：找4和6的最小公倍数。我们先列出4的倍数：4, 8, 12, 16, 20, 24, 32... 然后看看这些数中哪些也是6的倍数。你会发现，12和24都是6的倍数，4和6的公倍数有12和24等等。因为12是最小的，所以12就是它们的最小公倍数。

   3. （3）分解质因数法：分别将每个数分解为质因数幂的乘积，列出所有出现过的质因数（不论是否公有），对每个质因数，取它在各个数中出现的最大指数，将这些质因数幂相乘，即得最小公倍数。

      1. 比如：找5、6、8的最小公倍数。5和6本身就是互质，先相乘等于30，那么变成找30、8的最小公倍数，利用分解质因数法，30=5¹×3¹×2¹，8=2³，出现的质因数：5, 3, 2，取所有质因数的最大指数，所以最小公倍数等于5¹×3¹×2³，等于120。

   4. （4）短除法：先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

      1. 比如：求18、30、7的最小公倍数，用公约数2除，7不能被整除移下来，得余数9、15、7；再用公约数3除，得余数3、5、7（互质）；乘积=2×3×3×5×7=630 → 最小公倍数为630。

五、最大公约数与最小公倍数的应用 ​

1. 1、最大公约数：两个或多个整数共有的约数中最大的那个。题目中出现“分”、“切割”（如分割成小块）、“等分”等关键词时，往往需要求最大公约数。

   1. 为什么“分、切割、等分” → 求最大公约数？

   2. （1）核心逻辑：要把一个整体分成若干相等的小份，并且没有剩余 —— 那么每一份的长度（或大小）必须同时整除原来的每一个长度。能同时整除几个数的数，就是这几个数的公约数。如果题目还要“分成的份数最少”（或“每份尽可能大”），那就取最大的公约数。

   3. （2）举例：有两根绳子分别12米和18米，要求截成同样长的小段，且不许有剩余。【首先每段长度必须能同时整除12和18。能整除12的数：1,2,3,4,6,12，能整除18的数：1,2,3,6,9,18。共同的（公约数）：1,2,3,6。如果你取1米，可以，但段数太多（12+18=30段）。如果取最大公约数 6米，段数最少：12÷6=2段，18÷6=3段，共5段。】

2. 2、最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数中最小的那个。题目中出现“相遇”、“共同周期”、“再次重合”等关键词时，通常需要求最小公倍数。

   1. 为什么“相遇、共同周期、再次重合” → 求最小公倍数？

   2. 核心逻辑：几个事情各自以固定的周期重复发生。它们下一次同时发生的时间，一定是每个周期的倍数（公共倍数）。最小的那个公共倍数，就是最小公倍数。
   3. 举例：公交车A每4分钟发一班，公交车B每6分钟发一班，早上8:00同时发车，下一次同时发车是几分钟后？【A发车时间：8:00, 8:04, 8:08, 8:12, 8:16, 8:20…。B发车时间：8:00, 8:06, 8:12, 8:18…。第一次同时出现（除起点外）是8:12，也就是12分钟后。12是4和6的最小公倍数。】

3. 3、重要性质：

   1. （1）乘积性质：对于任意两个自然数，它们的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积（两个数的乘积 = 它们的最大公约数 × 最小公倍数）。例如4和6，4×6 = 24，4和6的最大公约数是2，最小公倍数是12，2×12 = 24成立。

   2. （2）互质数：如果两个数互质（最大公约数为1），它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。例如4和9互质，最小公倍数 = 4×9 = 36。

六、随笔练习 ​